3 years ago

Strict monotonicity of principal eigenvalues of elliptic operators in Rd and risk-sensitive control

Ari Arapostathis, Anup Biswas, Subhamay Saha

Publication date: Available online 13 June 2018

Source: Journal de Mathématiques Pures et Appliquées

Author(s): Ari Arapostathis, Anup Biswas, Subhamay Saha

Abstract

This paper studies the eigenvalue problem on Rd for a class of second order, elliptic operators of the form Lf=aijxixj+bixi+f, associated with non-degenerate diffusions. We show that strict monotonicity of the principal eigenvalue of the operator with respect to the potential function f fully characterizes the ergodic properties of the associated ground state diffusion, and the unicity of the ground state, and we present a comprehensive study of the eigenvalue problem from this point of view. This allows us to extend or strengthen various results in the literature for a class of viscous Hamilton–Jacobi equations of ergodic type with smooth coefficients to equations with measurable drift and potential. In addition, we establish the strong duality for the equivalent infinite dimensional linear programming formulation of these ergodic control problems. We also apply these results to the study of the infinite horizon risk-sensitive control problem for diffusions, and establish existence of optimal Markov controls, verification of optimality results, and the continuity of the controlled principal eigenvalue with respect to stationary Markov controls.

Résumé

Cet article étudie le problème des valeurs propres sur Rd pour une classe d'opérateurs elliptiques du second ordre Lf=aijxixj+bixi+f, associés à des diffusions non-dégénérées. Nous montrons que la monotonicité stricte de la valeur propre principale de l'opérateur par rapport á la fonction potentielle f caractérise les propriétés ergodiques de la diffusion de l'état fondamental, et l'unicité de l'état fondamental, et nous présentons une étude complète du problème des valeurs propres de ce point de vue. Cela nous permet d'étendre ou renforcer des divers résultats trouvés dans la littérature pour une classe d'équations visqueuses Hamilton–Jacobi du type ergodique avec des coefficients lisses aux équations avec des coefficients mesurables. En outre, nous établissons la dualité forte pour la formulation équivalente de programmation linéaire infini-dimensionnelle de ces problèmes de contrôle ergodiques. Nous appliquons également nos résultats à l'étude du problème de contrôle du type sensible au risque à l'horizon infini ; nous établissons ainsi l'existence de contrôles Markoviens optimaux, la vérification des résultats d'optimalité, et la continuité de la valeur propre principale contrôlée par rapport aux contrôles Markoviens stationnaires.

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